Question

若向量

a

=（1，0），

b

=（0，1），且

c

•

a

=

c

•

b

=1，则|

c

+t

a

+

1

t

b

|（t＞0）的最小值是（　　）

• A、2
• B、2

  2

• C、4
• D、4

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设

c

=（x，y），由条件可得

c

=（1，1），求得|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

(t+ 1 t )2+2(t+ 1 t

)．令μ=t+

1

t

，t＞0，则μ≥2．再根据|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

μ2+2μ

(μ+1)2-1

，求得它的最小值．

解答： 解：设

c

=（x，y），由且

c

•

a

=

c

•

b

=1可得

c

=（1，1），
则 

c

+t

a

+

1

t

b

=（1，1）+（t，0）+（0，

1

t

）=（1+t，1+

1

t

），
故|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

(1+t)2+(1+ 1 t )2

=

(t+ 1 t )2+2(t+ 1 t

)．
令μ=t+

1

t

，t＞0，则μ≥2．
所以，|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

μ2+2μ

 

(μ+1)2-1

≥2，当且仅当μ=2时，等号成立，
故选：B．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题．