Question

某广告公司设计一个凸八边形的商标，它的中间是一个正方形，外面是四个腰长为1，顶角为2α的等腰三角形．
（Ⅰ）若角2α=

2π

3

时，求该八边形的面积；
（Ⅱ）写出α的取值范围，当α取何值时该八边形的面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,解题方法

分析：（1）根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由余弦定理可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．
（2）利用三角函数把2sin2α-2cos2α=

2

(

2

2

sin2α-

2

2

cos2α)=

2

(cos

π

4

sin2α-sin

π

4

cos2α)=

2

sin(2α-

π

4

)，在利用2α的范围求出（2α-

π

4

）的范围，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4×

1

2

×1×1×sinα=2sin2α，
由余弦定理可得正方形边长为：

12+12-2×1×1×cos2α

=

2-co2α

 ，
故正方形面积为：2-2cos2α，
所以所求八边形的面积为：2sin2α-2cos2α+2，
当2α=

2π

3

时，
所以所求八边形的面积为：2sin

2

3

π-2cos

2

3

π+2=3+

3

．
（Ⅱ）设八边形的面积为S，由（Ⅰ）所求八边形的面积为：S=2sin2α-2cos2α+2=2+2

2

sin(2α-

π

4

)，
显然0＜2α＜π，所以0＜α＜

π

2

，  ∴-

π

4

＜2α-

π

4

＜

3

4

π，
故-

2

2

＜sin(2α-

π

4

)≤1
∴Smax=2+2

2

，
此时α=

3

8

π．

点评：本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用，正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．