Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点H（2，

2 10

3

）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）点M在圆x²+y²=b²上，且M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF₂Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点H（2，

2 10

3

）在椭圆上，建立方程组，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别求出|F₂P|，|F₂Q|，结合相切的条件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得结论．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点H（2，

2 10

3

）在椭圆上，
∴由题意，得

a2-b2=1 4 a2 + 40 9b2 =1

，…（2分）
解得a=3，b=2

2

…（4分）
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

8

=1．…（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

x12

9

+

y12

8

=1（|x₁|≤3）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=

1

9

（x₁-9）²，
∴|PF₂|=3-

1

3

x₁，------------------------（8分）
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-8=

1

9

x₁²，
∴|PM|=

1

3

x₁，
∴|PF₂|+|PM|=3----------------------------------（11分）
同理可求|QF₂|+|QM|=3
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=6为定值．…（12分）

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．