Question

设a为常数，求点A（0，a）与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点P（x，y）所连线段长的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先表示出f（x）=AP²=-

16y2

9

-2ay+a²+25，确定对称轴，利用分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：AP²=x²+（y-a）²，又x²=25-

25y2

9

，
∴f（x）=AP²=-

16y2

9

-2ay+a²+25
对称轴y=-

9a

16

，-3≤y≤3，
-

9a

16

＜-3时，a＞

16

3

，f（x）_max=f（-3）=a²+6a+9，∴AP_max=a+3；
-3≤-

9a

16

≤3时，-

16

3

≤a≤

16

3

，f（x）_max=f（-

9a

16

）=

25a2

16

+25，∴AP_max=

5

4

a2+16

；
-

9a

16

＞3时，a＜-

16

3

，f（x）_max=f（3）=a²-6a+9=3-a．

点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．