Question

如图，在多面体ABCDE中，DB丄平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，BD=2．
（Ⅰ）在线段DC上存在一点F，使得EF丄面DBC，试确定F的位置，并证明你的结论；
（Ⅱ）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先确定点的存在的位置，进一步说明理由，采用线面垂直的性质和相关的判定，及相关的运算知识．
（Ⅱ） 首先建立空间直角坐标系，进一步求出平面的法向量，利用向量的数量积知识，求出二面角的平面角．

解答： 解：（Ⅰ）F在CD的中点位置．
证明：取CD的中点F，BC的中点H，由于F、H点分别是CD和BC的中点，
所以：FH∥BD且 FH=

1

2

BD，
AE=FH，AE∥FH，
所以：四边形AHFE为平行四边形．
由DB丄平面ABC，
所以：BD⊥AH，AH⊥BC，
所以：AH⊥平面BCD，
由于EF∥AH，
所以：EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则：C（1，

3

，0），B（0，0，0），E（2，0，1），D（0，0，2），
所以：

BE

=(2，0，1)，

EC

=(-1，

3

，-1)，

DE

=(2，0，-1)，
设平面BCE的法向量为：

n1

=(x1，y1，z1)，
则：

n1 • BE =0 n1 • EC =0

解得：

n1

=(1，-

3

3

，-2)
同理设平面CDE的法向量为：

n2

=(x2，y2，z2)
则：

n2 • DE =0 n2 • EC =0

解得：

n2

=(1，

3

，2)
则：利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

6

4

所以：二面角D-EC-B的平面角的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质定理，空间直角坐标系，法向量的应用，向量的数量积，二面角的应用，属于中等题型．