Question

抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线l与x轴相交于点A（-1，0），过点A的直线与抛物线相交于P、Q两点． 
（1）求抛物线的方程；
（2）若

FP

•

FQ

=0，求直线PQ的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由条件设出抛物线方程，求出准线方程，由交点A，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）设直线AP：y=k（x+1），代入抛物线方程，消去y，运用韦达定理，再由向量垂直的条件：数量积为0，得到k的方程，解得k，再检验判别式是否大于0，即可得到直线PQ的方程．

解答： 解：（1）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，
可设抛物线方程为y²=2px，准线为x=-

p

2

，
由于准线l与x轴相交于点A（-1，0），则

p

2

=1，解得p=2，
则抛物线方程为y²=4x；
（2）显然直线AP的斜率不为0，则设直线AP：y=k（x+1），代入抛物线方程，
消去y，得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
则判别式△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，解得，-1＜k＜1．
x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1，y₁y₂=

16x1x2

=4，
由于

FP

•

FQ

=0，则（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
即有x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=0，
即6-

4-2k2

k2

=0，解得，k²=

1

2

，即k=±

2

2

．
检验满足-1＜k＜1，
则所求直线PQ的方程为：y=±

2

2

（x+1）．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．