Question

某海岛上有一座海拔1千米的山，山顶上有一观察站P（P在海平面上的射影点为A），测得一游艇在海岛南偏西30°，俯角为45°的B处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45°的旅游景点C处，如图所示．
（Ⅰ）设游艇从B处直线航行到C处时，距离观察站P最近的点为D处．
（i）求证：BC⊥平面PAD；（ii）计算B、D两点间的距离．
（Ⅱ）海水退潮后，在（Ⅰ）中的点D处周围0.25千米内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后，再沿正东方向继续驶向C处．为使游艇不会触礁，试求AE的最大值．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,解三角形的实际应用

专题：解三角形,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）（i）连结PD，AD，由已知结合线面垂直的性质，可得PD⊥BC，PA⊥BC，再由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAD；
（ii）解直角三角形，求出AB=1，AC=1，且∠BAC=120°，则∠ABC=∠ACB=30°，结合BC⊥AD，可得D为BC的中点，且BD=

3

2

；
（Ⅱ）由题意过点B作圆D的切线，交AC于E，切点为G，则AE取得最大值，设AE=x，连结DG，则DG⊥BE，结合余弦定理构造方程，可得AE的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）（i）连结PD，AD，
∵游艇距离观察站P最近的点为D处，
∴PD⊥BC，
又由题意得：PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵PD∩PA=P，PA，PD?平面PAD，
∴BC⊥平面PAD；
（ii）∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，
又∵∠PBA=45°，PA=1，
∴AB=1，
同理AC=1，且∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
又BC⊥AD，
∴D为BC的中点，且BD=

3

2

；

（Ⅱ）由题意过点B作圆D的切线，交AC于E，切点为G，
则AE取得最大值，
设AE=x，则CE=1-x，过点E作EF⊥BC于F，
则EF=

1

2

（1-x），
连结DG，则DG⊥BE，
∴Rt△BGD∽Rt△BFE，
∴DG：EF=BD：BE，
∴BE=

3

（1-x），
在△ABE中，BE2=AB2+AE2-

1

2

AB•AE•cos∠BAC，
即3（1-x）²=1+x²+x，
解得：x=

7+ 33

4

，或x=

7- 33

4

，
又由0＜x＜1，
∴x=

7- 33

4

，
即AE的最大值为

7- 33

4

．

点评：本题考查立体几何、平面几何、解析几何等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想，本题考查的知识点是线面垂直的判定，空间两点之间距离，余弦定理，是解三角形与空间立体几何的综合应用，难度中档．