Question

已知平面直角坐标系xoy中，动抛物线c：y=2（x-

3

-3cosθ）²+1+3sinθ（θ任意实数），以Ox轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcos（θ+

π

6

）=0．
（1）写出直线l的直角坐标方程和动抛物线c的顶点的轨迹E的参数方程；
（2）求直线l被曲线E截得的弦长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化公式能求出直线l的直角坐标方程和轨迹E的参数方程．
（Ⅱ）轨迹E的普通方程为（x-

3

）²+（y-1）²=9，轨迹E为圆，求出圆心D（

3

，1）到直线l：

3

x-y=0的距离，由此能求出直线l被曲线E截得的弦长．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρcos（θ+

π

6

）=0，
∴直线l的直角坐标方程是

3

x-y=0，3分
∵动抛物线c：y=2（x-

3

-3cosθ）²+1+3sinθ（θ任意实数），
∴轨迹E的参数方程是

x= 3 +3cosθ y=1+3sinθ

．（θ为参数）.5分
（Ⅱ）轨迹E的普通方程为（x-

3

）²+（y-1）²=9，轨迹E为圆，6分
则圆心D（

3

，1）到直线l：

3

x-y=0的距离d=

| 3 • 3 -1|

2

=1，7分
所以直线l被曲线E截得的弦长=2

9-1

=4

2

.10分

点评：本题本题考查对参数方程的理解、表达和与普通方程的互化，也考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化．同时考查了直线被圆所截的弦长的求法．