题目内容
已知向量
=（cos
，sin
），
=（cos
，-sin
），且x∈[0，
]．
（1）求
•
及|
+
|；
（2）若f（x）=
•
-2λ|
+
|的最小值为-7，求实数λ的值．
| a |
| 3x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| π |
| 2 |
（1）求
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的最值
专题：三角函数的求值
分析：（1）由数量积的运算和模长的计算，结合三角函数运算可得；
（2）由（1）可知f（x）=2（cosx-λ）2-2λ2-1，由x∈[0，
]可得cosx∈[0，1]，由二次函数区间的最值分类讨论可得．
（2）由（1）可知f（x）=2（cosx-λ）2-2λ2-1，由x∈[0，
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）∵
=（cos
，sin
），
=（cos
，-sin
），
∴
•
=cos
cos
-sin
sin
=cos（
+
）=cos2x，
∴|
+
|2=
2+
2+2
•
=cos2
+sin2
+cos2
+sin2
+2cos2x
=2+2cos2x=4cos2x，又x∈[0，
]，∴|
+
|=2cosx；
（2）由（1）可知f（x）=
•
-2λ|
+
|=cos2x-4λcosx
=2cos2x-4λcosx-1=2（cosx-λ）2-2λ2-1，
∵x∈[0，
]，∴cosx∈[0，1]，
当λ≤0时，由二次函数可知cosx=0时f（x）取最小值-1，这与最小值为-7矛盾；
当λ≥1时，由二次函数可知cosx=1时f（x）取最小值1-4λ=-7，解得λ=2，符合题意；
当0＜λ＜1时，由二次函数可知cosx=λ时f（x）取最小值-2λ2-1=-7，解得λ=±
，这与0＜λ＜1矛盾；
综上可知实数λ的值为2
| a |
| 3x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| b |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
∴|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
=2+2cos2x=4cos2x，又x∈[0，
| π |
| 2 |
| a |
| b |
（2）由（1）可知f（x）=
| a |
| b |
| a |
| b |
=2cos2x-4λcosx-1=2（cosx-λ）2-2λ2-1，
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
当λ≤0时，由二次函数可知cosx=0时f（x）取最小值-1，这与最小值为-7矛盾；
当λ≥1时，由二次函数可知cosx=1时f（x）取最小值1-4λ=-7，解得λ=2，符合题意；
当0＜λ＜1时，由二次函数可知cosx=λ时f（x）取最小值-2λ2-1=-7，解得λ=±
| 3 |
综上可知实数λ的值为2
点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及向量的运算和二次函数区间的最值以及分类讨论的思想，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在多面体ABCDE中，DB丄平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，BD=2．在平面直角坐标系xOy中，已知
、
是互相垂直的两个单位向量，点Q满足
=3
+4
．曲线C={P|
=2
cosθ+2
sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|
|≤R，r＜R}．若C∩Ω=C，则（ ）
| a |
| b |
| OQ |
| a |
| b |
| OP |
| a |
| b |
| PQ |
| A、0＜r≤3且R≥7 |
| B、0＜r≤3≤R≤7 |
| C、0＜r≤5＜R＜7 |
| D、5≤r＜7≤R |
如图，在几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE∥BD，△ABC为边长等于2的正三角形，CD=2
如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AD、BC中，AB=CD=2，EF=
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．