Question

已知正四面体的体积为a，则其外接球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：设正四面体的所有棱长均为b，所以此三棱锥一定可以放在棱长为

2

2

b的正方体中，求出这个正四面体的体积和其外接球的体积，可得两个体积的比，进而结合正四面体的体积为a，可得答案．

解答： 解：∵正三棱锥S-ABC的所有棱长均为b，
∴此三棱锥一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此三棱锥．
∴正方体的棱长为

2

2

b，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径为正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=

1

2

×

1 2 + 1 2 + 1 2

b=

6

4

b，
∴球的体积为V=

4

3

πR³=

6

8

πb³，
而此时正四面体的体积为b³-4×

1

3

×

1

2

×b³=

1

3

b³，
故正四面体的体积与其外接球的体积之比为：

1

3

b³：

6

8

πb³=1：

3 6

8

π，
当正四面体的体积为a时，
其外接球的体积为

3 6

8

πa，
故答案为：

3 6

8

πa

点评：本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入面积、体积公式分别求解．