Question

定义在R上的非零函数f（x）对于任意实数m，n总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x ）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）求证：f（x）的值恒为正；
（3）判断f（x）的单调性并证明结论．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令m=1，n=0，结合非零函数f（x）对于任意实数m，n总有f（m+n）=f（m）•f（n），可求出f（0），
（2）由（1）可得当x＞0时，0＜f（x ）＜1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，-x＞0，由f（x+（-x））=f（0）=f（x）•f（-x），可得f（x ）＞1，进而得到结论；
（3）当x＜0时，-x＞0，则0＜f（-x）＜1⇒f（x）=

1

f(-x)

＞0，故对任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1，即f（x₁）＜f（x₂），根据单调性的定义证明函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），
又∵当x＞0时，0＜f（x ）＜1，
∴0＜f（1）＜1，
故f（0）=1，
证明：（2）当x＞0时，0＜f（x ）＜1，
当x=0时，f（0）=1，
当x＜0时，-x＞0，
f（x+（-x））=f（0）=f（x）•f（-x），
故f（x ）＞1，
综上所述：f（x）＞0恒成立，
故f（x）的值恒为正；
（3）解：当x＜0时，-x＞0，则0＜f（-x）＜1⇒f（x）=

1

f(-x)

＞0，
即对任意x∈R都有f（x）＞0，
对于任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1⇒f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在R上为减函数．

点评：抽象函数求某点的函数值，通常采取赋值法解决；对于抽象函数的单调性，奇偶性的判定，一般采取定义解决，此题难度较大，综合性强，属难题．