Question

设函数g（x）=ax²+bx+c（a＞0），且g（1）=-

a

2

．
（1）求证：函数g（x）有两个零点；
（2）讨论函数g（x）在区间（0，2）内的零点个数．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件化简函数的解析式，求出函数的判别式，由判别式大于0恒成立得到函数f（x）有两个零点；
（2）分c＞0时和c≤0两种情况，判断函数值在区间端点处的函数值的符号，根据函数零点的判定定理得出结论．

解答： 解：（1）证明：∵g（1）=a+b+c=-

a

2

，
∴3a+2b+2c=0，
∴c=-

3

2

a-b．
∴g（x）=ax²+bx-

3

2

a-b，
∴△=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，
故函数f（x）有两个零点．
（2）根据g（0）=c，g（2）=4a+2b+c，
由（1）知3a+2b+2c=0，
∴g（2）=a-c．
（i）当c＞0时，有g（0）＞0，
又∵a＞0，∴g（1）=-

a

2

＜0，
故函数g（x）在区间（0，1）内有一个零点，
故在区间（0，2）内至少有一个零点．
（ii）当c≤0时，g（1）＜0，g（0）=c≤0，g（2）=a-c＞0，
∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，
综合（i）（ii），可知函数g（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的零点就是函数f（x）=0的根；零点的判定方法是，函数在区间端点的函数值异号，属于中档题．