Question

实数x，y满足

xy≥0 |x+y|≤1

，使z=ax+y取得最大值的最优解有两个，则z=ax+y+1的最小值为（　　）

• A、0
• B、-2
• C、1
• D、-1

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有2个，利用数形结合确定a的取值即可得到结论．

解答： 解：不等式组等价为

x≥0 y≥0 0≤x+y≤1

或

x≤0 y≤0 -x-y≤1

不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0时，直线y=-ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若-a＞0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z经过点A，D时满足条件，此时-a=1，解得a=-1．
若-a＜0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时z=ax+y取得最大值的最优解有1个或者无数个，不满足条件．
综上满足条件的a=-1，即z=-x+y+1，
则y=x+z-1，当直线y=x+z-1经过B（1，0），C（0，-1）时，目标函数取得最小值，
此时z=-1+0+1=0，
故选：A

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有2个，利用结合数形结合是解决本题的关键．