Question

19．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y²=10x，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （I）曲线C的方程为y²=10x，利用互化公式可得极坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程．
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：3t²-20t-80=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲线C的方程为y²=10x，利用互化公式可得：
ρ²sin²θ=10ρcosθ，即ρsin²θ=10cosθ．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数可得：$\sqrt{3}$x-y-2$\sqrt{3}$=0．
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：3t²-20t-80=0，
∴t₁+t₂=$\frac{20}{3}$，t₁t₂=-$\frac{80}{3}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{20}{3}）^{2}-4×（-\frac{80}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{85}}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程互化、参数方程的应用、直线与相交相交转化为一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．