Question

7．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A₁A，A₁B₁，A₁D₁的中点，以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．

解答 解：连结A₁C，AC，B₁C，D₁C，
分别取AC，B₁C，D₁C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．
由中位线定理可得PE$\frac{∥}{=}$A₁C，QF$\frac{∥}{=}$A₁C，RG$\frac{∥}{=}$A₁C．
又A₁C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR-EFG是正三棱柱．
∴三棱柱的高h=PE=$\frac{1}{2}$A₁C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．