Question

10．若函数f（x）=x²+$\frac{2}{x}$-alnx（a＞0）有唯一零点x₀，且m＜x₀＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 5
• D． 7

Answer 1

分析 构造函数${y_1}={x^2}+\frac{2}{x}，{y_2}=alnx（a＞0）$，由函数$f（x）={x^2}+\frac{2}{x}-alnx（a＞0）$有唯一零点x₀，则y₁，y₂有公切点，由此求x₀的解析式，即可求出m、n的值．

解答 解：令${y_1}={x^2}+\frac{2}{x}，{y_2}=alnx（a＞0）$，

则${y_1}^′=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{{2{x^3}-2}}{x^2}，{y_2}^′=\frac{a}{x}（a＞0，x＞0）$，
在（0，1）上y₁为减函数，在（1，+∞）上y₁为增函数，
所以y₁为凹函数，而y₂为凸函数；
∵函数$f（x）={x^2}+\frac{2}{x}-alnx（a＞0）$有唯一零点x₀，
∴y₁，y₂有公切点（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{2x}_{0}-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}=\frac{a}{{x}_{0}}}\\{{{x}_{0}}^{2}+\frac{2}{{x}_{0}}=al{nx}_{0}}\end{array}\right.$，
消去a，得${{x}_{0}}^{2}$+$\frac{2}{{x}_{0}}$-2（${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$）lnx₀=0；
构造函数$g（x）={x^2}+\frac{2}{x}-2（{{x^2}-\frac{1}{x}}）lnx，（{x＞0}）$，
则$g（2）=4+1-2（4-\frac{1}{2}）ln2=5-7ln2$，
欲比较5与7ln2大小，可比较e⁵与2⁷大小，
∵e⁵＞2⁷，∴g（2）＞0，
$g（e）={e^2}+\frac{2}{e}-2（{{e^2}-\frac{1}{e}}）=-{e^2}+\frac{3}{e}＜0$，
∴x∈（2，e）；
∴m=2，n=3，∴m+n=5．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是综合性题目．