Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

2

，且过点（1，

3

2

）．抛物线C₂：x²=-2py（p＞0）的焦点坐标为（0，-

1

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）若点M是直线l：2x-4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C₁于P，Q两点．
（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件，设椭圆方程为

x2

4

+y2=λ＞0，把点(1，

3

2

)代入能求出椭圆C₁的方程．抛物线C₂中，由

p

2

=

1

2

，能求出抛物线C₂的方程．
（II）（i）设点M（x₀，y₀），且满足2x₀-4y₀+3=0，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于切线MA，MB同过点M，有

x2x0+y0+y2=0 x2x0+y0+y2=0

，由此能证明直线AB过定点(-

1

2

，-

3

4

)．
（ii）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），联立方程

x2 4 +y2=1 x0x+y+y0=0

，得(1+4

x

2 0

)x2+8x0y0x+4

y

2 0

-4=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程．

解答： 解：（I）由于椭圆C₁中，e=

3

2

，
则设其方程为

x2

4

+y2=λ＞0，
由于点(1，

3

2

)在椭圆上，故代入得λ=1．
故椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1．
抛物线C₂中，
∵抛物线C₂：x²=-2py（p＞0）的焦点坐标为（0，-

1

2

），
∴

p

2

=

1

2

，故p=1，
从而椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1，抛物线C₂的方程为x²=-2y．
（II）（i）证明：设点M（x₀，y₀），且满足2x₀-4y₀+3=0，
点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则切线MA的斜率为-x₁，
从而MA的方程为y=-x₁（x-x₁）+y₁，
考虑到y1=-

x 2 1

2

，则切线MA的方程为x₁x+y+y₁=0，
同理切线MB的方程为x₂x+y+y₂=0，
由于切线MA，MB同过点M，
从而有

x2x0+y0+y2=0 x2x0+y0+y2=0

，
由此点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直线x₀x+y+y₀=0上．
又点M在直线2x-4y+3=0上，则2x₀-4y₀+3=0，
故直线AB的方程为（4y₀-3）x+2y+2y₀=0，
即y₀（4x+2）+（2y-3x）=0，
∴直线AB过定点(-

1

2

，-

3

4

)．
（ii）解：设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
考虑到直线AB的方程为x₀x+y+y₀=0，
则联立方程

x2 4 +y2=1 x0x+y+y0=0

，
消去y并简化得(1+4

x

2 0

)x2+8x0y0x+4

y

2 0

-4=0，
从而△=16(4

x

2 0

-

y

2 0

+1)＞0，x3+x4=-

8x0y0

4 x 2 0 +1

，x3x4=

4 y 2 0 -4

4 x 2 0 +1

，
从而|PQ|=

1+ k 2 PQ

|x3-x4|=

1+ k 2 PQ

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

1+ x 2 0

16(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

，
点O到PQ的距离d=

|y0|

1+ x 2 0

，
从而S△OPQ=

1

2

•|PQ|•d=

1

2

•

1+ x 2 0

16(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

•

|y0|

1+ x 2 0

=2

y 2 0 •(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

≤

y 2 0 +(4 x 2 0 - y 2 0 +1)

1+4 x 2 0

=1，
当且仅当

y

2 0

=4

x

2 0

-

y

2 0

+1，即

y

2 0

=2

x

2 0

+

1

2

，
又由于2x₀-4y₀+3=0，
从而消去x₀得2

y

2 0

=(4

y

0

-3)2+1，
即7

y

2 0

-12y0+5=0，解得y0=1或y0=

5

7

，
从而

x0= 1 2 y0=1

或

x0=- 1 14 y0= 5 7

，
∴所求的直线为x+2y+2=0或x-14y-10=0．

点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．