Question

已知实数x，y，z满足

x2+y2

+z=1，则xy+2xz的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：令x=rcosθ，y=rsinθ，r∈（0，1），θ∈(0，

π

2

)，可得z=1-r．通过三角函数代换、利用二次函数和三角函数单调性即可得出．

解答： 解：令x=rcosθ，y=rsinθ，r∈（0，1），θ∈(0，

π

2

)．
∵实数x，y，z满足

x2+y2

+z=1，
∴r+z=1，可得z=1-r．
∴t=xy+2xz=r²sinθcosθ+2r（1-r）cosθ
=（sinθcosθ-2cosθ）r²+2rcosθ=cosθ[（sinθ-2）r²+2r]≤

cosθ

2-sinθ

，
当r=

1

2-sinθ

时等号成立．
又令m=

cosθ

2-sinθ

，则msinθ+cosθ=2m，
∴

m2+1

≥|2m|，∴m2≤

1

3

．
当θ=

π

6

时，m取得最大值

3

3

．此时

x= 3 3 y= 1 3 z= 1 3

．

点评：本题考查了通过三角函数代换、利用二次函数和三角函数单调性解决问题的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．