Question

9．已知函数f（x）=alnx-x（a＞0）．
（1）当a=2时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≤-1对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）问题转化为alnx-x+1≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=alnx-x+1，（x＞0，a＞0），求出g（x）的最大值，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=2lnx-x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{2}{x}$-1=$\frac{2-x}{x}$，
故f（1）=-1，f′（1）=1，
故切线方程是：y+1=x-1，
即x-y-2=0；
（2）若不等式f（x）≤-1对任意x∈（0，+∞）恒成立，
则alnx-x+1≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=alnx-x+1，（x＞0，a＞0），
g′（x）=$\frac{a}{x}$-1=$\frac{a-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a，
令g′（x）＜0，解得：x＞a，
故g（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，
故g（x）_max=g（a）=alna-a+1，
故alna-a+1=0，解得：a=1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．