Question

4．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且$cosB=\frac{4}{5}，b=3$．
（1）当A=30°时，求a的值；
（2）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由$cosB=\frac{4}{5}$，得$sinB=\frac{3}{5}$，由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，由此利用A=30°，能求出a的值．
（2）由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$，△ABC的面积为3，求出ac=10，由余弦定理得a²+c²=25，由此能求出a+c的值．

解答 解：（1）∵$cosB=\frac{4}{5}$，∴$sinB=\frac{3}{5}$，…（2分）
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∵A=30°，∴sinA=sin30°=$\frac{1}{2}$，
∴$a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{5}{2}$…（6分）
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$，△ABC的面积为3，…（7分）
∴$\frac{3}{10}ac=3$，∴ac=10…8分
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB…（9分）
∴$9={a^2}+{c^2}-2×10×\frac{4}{5}={a^2}+{c^2}-16$，即a²+c²=25…（10分）
则：（a+c）²=a²+c²+2ac=25+20=45…（11分）
故：$a+c=3\sqrt{5}$…（12分）

点评 本题考查三角形的边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．