Question

19．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosC=acosC+ccosA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若b=2，a=6，D为BC的中点，求AD的长以及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理推导出a²+b²-c²=ab，再由余弦定理求出cosC=$\frac{1}{2}$，由此能求出C的大小．
（Ⅱ）由b=2，a=6，D为BC的中点，C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理能求出AD．由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC×sinC$，能求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosC=acosC+ccosA．
∴$2b×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$a×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$c×\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
整理，得：a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵b=2，a=6，D为BC的中点，C=$\frac{π}{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+D{C}^{2}-2AC•DC•cos\frac{π}{3}}$
=$\sqrt{4+9-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC×sinC$=$\frac{1}{2}×2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查角的大小的求法，考查三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．