Question

15．已知$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），\overrightarrow b=（1，-1）-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$
（1）当$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$时，求θ值；
（2）求$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosθ-sinθ=0，由此能求出θ的值．
（2）$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（cosθ-1，sinθ+1）$，从而推导出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，由此能求出$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的取值范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），\overrightarrow b=（1，-1），-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$，
$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosθ-sinθ=0，∴tanθ=1，
∵-$\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$，∴$θ=\frac{π}{4}$．
（2）∵$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（cosθ-1，sinθ+1）$，
∴$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{{{（cosθ-1）}^2}+{{（sinθ+1）}^2}}=\sqrt{3+2（sinθ-cosθ）}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，
∵$-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{3π}{4}≤θ-\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$，
∴$-1≤sin（θ-\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\sqrt{2}-1≤|\overrightarrow a-\overrightarrow b|≤\sqrt{5}$，即$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的取值范围是[$\sqrt{2}-1，\sqrt{5}$]．

点评 本题考查角的求法，考查向量的模的示法，考查向量的坐标运算法则、向量垂直、向量的模、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．