Question

11．已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简进行求解即可．
（2）根据三角函数的最值的性质进行求解即可．

解答 解：（1）由已知，有$f（x）=\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{1+cos（{2x+\frac{2π}{3}}）}}{2}=\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}（{-\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x}）+1$=$\frac{1}{4}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+1=\frac{1}{2}cos（{2x+\frac{π}{3}}）+1$．…（5分）
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，…（6分）
当$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$时，f（x）单调递增，
解得：$x∈[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
所以f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]（k∈Z）$．…（8分）
（2）由（1）可知，f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，-\frac{π}{6}]$上是减函数，
在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$上是增函数，
而$f（-\frac{π}{3}）=\frac{5}{4}$，f（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$，…（11分）
所以f（x）在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}]$上的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为$\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简是解决本题的关键．