题目内容
16．已知函数f（x）=x2ex，当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）| A． | [$\frac{1}{e}$，+∞） | B． | （$\frac{1}{e}$，+∞） | C． | [e，+∞） | D． | （e，+∞） |
分析 先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，先求出f（x）在[-1，1]上的单调性，从而求出函数的最大值和最小值．
解答 解：（1）f′（x）=x（x+2）ex，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∵x∈[-1，1]，
∴当-1≤x≤0时，函数f（x）为减函数，当0≤x≤1时，函数f（x）为增函数，
则当x=0时，函数取得极小值f（0）=0，
∵f（1）=e，f（-1）=$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）在[-1，1]上的最大值为e，
∵当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞e，
故选：D．
点评 本题考查不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．
练习册系列答案
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