Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为l的正方形，侧棱AA₁=2．
（1）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得CC₁∥平面ABB₁A₁，CD∥AB，由此能证明C₁D∥平面ABB₁A₁．
（2）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

解答： （1）证明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥CC₁，
又CC₁不包含于面ABB₁A₁，所以CC₁∥平面ABB₁A₁，
ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD不包含于面ABB₁A₁，所以CD∥平面ABB₁A₁，
所以平面CDD₁C₁∥平面ABB₁A₁，
所以C₁D∥平面ABB₁A₁．
（2）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
在△ADA₁中，由已知可得A1D=

3

，
所以D（0，0，0），A₁（0，0，

3

），A（1，0，0），
C₁（-1，1，

3

），B₁（0，1，

3

），D₁（-1，0，

3

），B（1，1，0），

BD1

=(-2，-1，

3

)，
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，
A₁D⊥B₁D₁，又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D，
所以平面A₁C₁D的一个法向量为

n

=（1，1，0），
设

BD1

与

n

所成的角为β，又

BD1

=(-2，-1，

3

)，
则cosβ=

-3

2 • 8

=-

3

4

．
所以直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为

3

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．