Question

已知函数f（x）=x²-alnx-x（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的任意两点（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为k，求证：f′（

x1+2x2

3

）＞k．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再根据a的值进行分类讨论，得到函数的单调区间．
（2）先求导，根据题意，由直线的斜率公式可得k的值，利用分析法证明f′（

x1+2x2

3

）＞k．转化为只需要证明

ln x1 x2

x1-x2

＞

3

x1+2x2

，再构造函数g（t），判断函数在（0，1）上单调性，问题得以证明

解答： 解：（1）f′(x)=2x-

a

x

-1=

2x2-x-a

x

(x＞0)                    
（i）当a≤-

1

8

时，2x²-x-a≥0 恒成立，即f'（x）≥0恒成立，
故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．
（ii）当-

1

8

＜a＜0时，f′（x）＞0⇒2x²-x-a＞0，
解得：x＞

1+ 1+8a

4

或x＜

1- 1+8a

4

∵x＞0，∴函数f（x）的单增区间为(0，

1- 1+8a

4

)，(

1+ 1+8a

4

，+∞)，
单减区间为(

1- 1+8a

4

，

1+ 1+8a

4

)．
（iii）当a＞0时，由f′（x）＞0解得：x＞

1+ 1+8a

4

或x＜

1- 1+8a

4

．
∵x＞0，而此时

1- 1+8a

4

＜0，∴函数f（x）的单增区间为(

1+ 1+8a

4

，+∞)，
单减区间为(0，

1+ 1+8a

4

)．
综上所述：
（i）当a≤-

1

8

时，f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．
（ii）当-

1

8

＜a＜0时，f（x）的单增区间为(0，

1- 1+8a

4

)，(

1+ 1+8a

4

，+∞)，
单减区间为(

1- 1+8a

4

，

1+ 1+8a

4

)．
（iii）当a＞0时，f（x）的单增区间为(

1+ 1+8a

4

，+∞)，单减区间为(0，

1+ 1+8a

4

)．
（2）证明：∵f′(x)=2x-

a

x

-1
∴f′(

x1+2x2

3

)=

2(x1+2x2)

3

-

3a

x1+2x2

-1
由题意得，k=

y1-y2

x1-x2

=

(x1 2-x2 2)-a(lnx1-lnx2)-(x1-x2)

x1-x2

=(x1+x2)-

aln x1 x2

x1-x2

-1
则：f′(

x1+2x2

3

)-k=

2(x1+2x2)

3

-(x1+x2)-

3a

x1+2x2

+

aln x1 x2

x1-x2

=

x2-x1

3

-

3a

x1+2x2

+

aln x1 x2

x1-x2

                        
注意到

x2-x1

3

＞0，
故欲证f′(

x1+2x2

3

)＞k，
只须证明：

aln x1 x2

x1-x2

＞

3a

x1+2x2

．
因为a＞0，故即证：

ln x1 x2

x1-x2

＞

3

x1+2x2

令

x1

x2

=t∈(0，1)，g(t)=lnt-

3(t-1)

t+2

                                 
则：g′(t)=

1

t

-

9

(t+2)2

=

(t-1)(t-4)

t(t+2)2

＞0 
故g（t）在（0，1）上单调递增．                                            
即：lnt＜

3(t-1)

t+2

，
即：ln

x1

x2

＜

3( x1 x2 -1)

x1 x2 +2

所以：f′(

x1+2x2

3

)＞k．

点评：本题考查导数的应用，涉及斜率，最大值、最小值的求法，是综合题；关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数，属于难题．