Question

11．已知椭圆C₁与双曲线C₂具有相同的焦点F₁，F₂，A为C₁与C₂的一个公共点，△AF₁F₂为等腰三角形，设椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁，e₂，则（　　）

• A． e₁e₂=1
• B． e₁e₂=2
• C． e₁+e₂=2
• D． $\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=2

Answer 1

分析 由题意画出图象，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$和$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}=1$，根据图象和条件、椭圆和双曲线的定义列出方程，化简后根据离心率公式变形即可得到答案．

解答 解：由题意画出图象：
设椭圆与双曲线的标准方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$和$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}=1$，
（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁），
由图可得，|AF₁|＞|AF₂|，
因为△AF₁F₂的等腰三角形，所以由图可得|AF₁|=|F₁F₂|=2c，
由椭圆、双曲线的定义得：|AF₁|+|AF₂|=2a₁，|AF₁|-|AF₂|=2a₂，
两式相加得：2|AF₁|=2a₁+2a₂=4c，
即a₁+a₂=2c，两边同除以c得：$\frac{{a}_{1}}{c}+\frac{{a}_{2}}{c}=2$，
则$\frac{1}{\frac{c}{{a}_{1}}}+\frac{1}{\frac{c}{{a}_{2}}}=2$，所以$\frac{1}{{e}_{1}}+\frac{1}{{e}_{2}}=2$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆与双曲线的标准方程及其性质、离心率计算公式，考查化简、变形能力，属于中档题．