Question

3．数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₃，a₅是方程x²-5x+6=0的两实数根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$，记数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由方程x²-5x+6=0解得x=2，3．根据数列{a_n}是公差d为正数的等差数列，a₃，a₅是方程x²-5x+6=0的两实数根．可得a₃＜a₅，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，再利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：由方程x²-5x+6=0解得x=2，3．
∵数列{a_n}是公差d为正数的等差数列，a₃，a₅是方程x²-5x+6=0的两实数根．
∴a₃＜a₅，∴a₃=2，a₅=3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{{a}_{1}+4d=3}\end{array}\right.$，解得d=$\frac{1}{2}$，a₁=1．
∴a_n=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$．
（2）证明：b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$2[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$＜1，
∴S_n＜1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．