题目内容

1．设$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{z}$=$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$，且{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{x}$}；②{$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$}；③{$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{z}$}；④{$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$}．其中可以作为空间的基底的向量组有②③④．

分析 只要所给三个向量不共面即可作为空间向量的基底．

解答 解：∵$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{x}$共面，∴①{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{x}$}不能作为空间向量的一个基底．
∵$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{z}$=$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$，∴$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$不共面，∴②{$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$}可作为空间向量的一个基底．
同理，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{z}$不共面，$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$不共面，∴③{$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{z}$}；④{$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$}都可作为空间向量的一个基底．
故答案为②③④．

点评 本题考查空间向量的基本定理及其意义，解题的关键是熟练掌握空间向量基本定理意义，掌握向量组可作为基底的条件．

练习册系列答案
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