Question

函数f（x）=psinωx（p＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，AC=f（

B

2

），C=

2π

3

，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用最值可求p，利用图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

确定ω；
（2）由（1）可得三角形b=2sinB，由此利用正弦定理可求外接圆的直径，并且将三角形的周长转化为角的解析式，利用三角函数两脚和与差的三角函数
公式化简三角函数为一个角的三角函数形式，求最值．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=psinωx（p＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
所以p=2，T=π，∴ω=2，
∴f（x）=2sin2x；
（2）在△ABC中，AC=f（

B

2

），C=

2π

3

，由（1）得AC=2sinB=b，由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为

b

sinB

=2，
△ABC周长为AB+BC+AC=a+b+c=2sinA+2sinB+2sinC=2sinA+2sin（

π

3

-A）+

3

=sinA+

3

cosA+

3

=2sin（A+

π

3

）+

3

，其中

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
所以A+

π

3

=

π

2

时△ABC周长的最大值为2+

3

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的解析式确定、三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．