Question

已知点P（1，-

3

2

）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，过椭圆C的右焦点F₂（1，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W=

|AB|2

|MN|

．试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义求出a=2，再求出b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．

解答： 解：（1）椭圆C的右焦点为（1，0），∴c=1，椭圆C的左焦点为（-1，0）
可得2a=

(1+1)2+(- 3 2 )2

+

(1-1)2+(- 3 2 )2

=

5

2

+

3

2

=4，解得a=2，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）①当直线斜率不存在时，|AB|²=（2b）²=4b²，|MN|=

2b2

a

，
∴W=

|AB|2

|MN|

=

4b2

2b2 a

=2a=4．…（6分）
②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴|MN|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

12(k2+1)

3+4k2

．…（10分）
由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x²=

12

3+4k2

，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则|AB|=

1+k2

•|x₃-x₄|=4

3(1+k2) 3+4k2

，
∴W=

|AB|2

|MN|

=

48(1+k2) 3+4k2

12(1+k2) 3+4k2

=4
综上所述，W为定值4．  …（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．