Question

已知椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上动点．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）∠F₁PF₂=60°时，求△F₁PF₂的面积S；
（3）已知点A（2，2），求|PA|+|PF₂|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），由焦半径公式|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex），能求出|PF₁|•|PF₂|的最大值．
（2）由椭圆的焦点三角形面积公式△F₁PF₂的面积S=b²tan

θ

2

，能求出△F₁PF₂的面积．
（3）由已知条件推导出当且仅当P、A、F₁共线时|PA|+|PF₂|取最小值，由此能求出这个最小值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上动点，
∴a=5，b=3，c=4，e=

c

a

=

4

5

，F₁（-4，0），F₂（4，0）
设P（x，y），由焦半径公式，
|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex）=25-

16x2

25

，
∴当x=0时，|PF₁|•|PF₂|的最大值为25．
（2）∵∠F₁PF₂=60°，
由椭圆的焦点三角形面积公式：
△F₁PF₂的面积S=b²tan

θ

2

=9•tan30°=3

3

，
∴△F₁PF₂的面积S=3

3

．
（3）|PA|+|PF₂|=|PA|+（2a-|PF₁|）=2a+（|PA|-|PF₁|），
由于-|AF₁|≤|PA|-|PF₁|≤|AF₁|，
当且仅当P、A、F₁共线时取等号，
∴|PA|+|PF₂|的最小值=2a-|AF₂|=10-

(-4-2)2+(0-2)2

=10-2

10

．

点评：本题考查椭圆中两条线段长的乘积的最大值的求法，考查三角形面积的求法，考查两条线段和的最小值的求法，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．