Question

15．函数f（x）=$\frac{lnx+2}{x}$+a（x-1）-2．
（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（2）若对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式$\frac{f（x）}{1-x}$＜$\frac{a}{x}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数的极值的关系即可求出，
（2）原不等式等价于$\frac{f（x）}{x-1}$+$\frac{a}{x}$＞0，即$\frac{xf（x）+a（x-1）}{x-1}$＞0，构造函数g（x）=lnx+a（x²-1）-2（x-1），根据导数和函数的最值得关系，分类讨论即可证明

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=$\frac{lnx+2}{x}$-2．x＞0，
∴f′（x）=$\frac{-1-lnx}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜$\frac{1}{e}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＞$\frac{1}{e}$，函数单调递减，
∴当x=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）有极大值，极大值为f（$\frac{1}{e}$）=e-2，无极小值；
（2）原不等式等价于$\frac{f（x）}{x-1}$+$\frac{a}{x}$＞0，即$\frac{xf（x）+a（x-1）}{x-1}$＞0，
∴$\frac{1}{x-1}$[lnx+a（x²-1）-2（x-1）]＞0，
令g（x）=lnx+a（x²-1）-2（x-1），g（1）=0，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-2=$\frac{2a{x}^{2}-2x+1}{x}$，
∵$\frac{1}{x-1}$[lnx+a（x²-1）-2（x-1）]＞0，
g（2）=ln2+3a-2＞0⇒a＞$\frac{2-ln2}{3}$＞0，
①当a≥$\frac{1}{2}$时，2ax²-2x+1≥x²-2x+1≥（x-1）²＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴x∈（0，1），g（x）＜0，x∈（1，+∞），g（x）＞0，
∴$\frac{1}{x-1}$g（x）＞0，
②当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令2ax²-2x+1=0，解得x=$\frac{1+\sqrt{1-a}}{2a}$＞1，
∴x∈（1，$\frac{1+\sqrt{1-a}}{2a}$）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴$\frac{1}{x-1}$g（x）＜0，不合题意，舍去，
综上所述a≥$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了函数的单调性，极值，零点的基础知识，考查学生运算求解与推理论证的能力，运用导数工具解决函数与方程，不等式综合问题的能力，考查了数形结合，分类与整合，转化与化归的数学思想，属于难题