Question

已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y-5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切．
（Ⅰ）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（-2，-2），求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅱ）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,直线的倾斜角

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据点与直线的对称性求出圆心，利用数量积的坐标公式即可求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅱ）利用直线和圆的方程联立，结合直线的斜率公式即可得到结论．

解答： 解：Ⅰ）设圆心C（a，b），则A，C的中点坐标为（

a+2

2

，

b+1

2

），
∵圆心C与点A（2，1）关于直线4x+y-5=0，
∴

4× a+2 2 +2× b+1 2 -5=0 b-1 a-2 ×(-2)=-1

，
解得

a=0 b=0

，
∴圆心C（0，0）到直线x+y+2=0的距离r=

|2|

2

=

2

，
∴圆C的方程为x²+y²=2．
设Q（x，y），则x²+y²=2，

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-2，
作直线l：x+y=0，向下平移此直线，当与圆相切时，x+y取得最小值，
此时切点坐标为（-1，-1），
∴

PQ

•

MQ

的最小值-4．
（Ⅱ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y-1=k（x-1），
PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，
故可得xA=

k2-2k-1

1+k2

，
同理xB=

k2+2k-1

1+k2

，
则kAB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xA+xB)

xB-xA

=1=k_OP
∴直线AB和OP一定平行．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合直线的对称性和直线的斜率公式是解决本题的关键．