Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1．（P不在线段AB上）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）讨论点P在x轴上且在线段AB外时，求出点P，点P不在x轴上时，求出点P的轨迹，
从而得出点P的轨迹C的方程；
（2）设出直线AP的方程y=kx+1，代入椭圆方程，求出点P的坐标，
再求出点Q的坐标，得直线PQ的方程，判断PQ是否过定点即可．

解答： 解：（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时，θ=0，设P（p，0），
由|PA|•|PB|cos²θ=1，得（p+1）（p-1）=1，
∴p=±

2

∴P(±

2

，0)；…（3分）
②当点P不在x轴上时，
在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4；
∴|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，
方程为：

x2

2

+y²=1（x≠±

2

）；
综和①②可知：动点P的轨迹C的方程为：

x2

2

+y²=1；…（6分）
（2）显然，两直线斜率存在，设AP：y=kx+1，
代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4kx=0，…（8分）
解得点P(

-4k

1+2k2

，

1-2k2

1+2k2

)，
同理得Q(

4k

2+k2

，

k2-2

2+k2

)，
直线PQ：y-

k2-2

2+k2

=

k2-1

3k

(x-

4k

2+k2

)，…（10分）
化简得y=

k2-1

3k

x-

1

3

；
令x=0，得y=-

2

3

，
∴直线PQ过定点(0，-

1

3

)…（12分）

点评：本题考查了求点的轨迹的问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，是中档题目．