Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅．若存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁，则

1

m

+

9

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由等比数列的性质可得q=2，m+n=4，从而

1

m

+

9

n

=

1

4

（

1

m

+

9

n

）（m+n）=

1

4

（10+

n

m

+

9m

n

），由基本不等式可得．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0
∵a₇=a₆+2a₅，∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，解得q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁，
∴a₁q^m-1•a₁q^n-1=4a₁²，代入q=2解得m+n=4，
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

（

1

m

+

9

n

）（m+n）
=

1

4

（10+

n

m

+

9m

n

）≥

1

4

（10+2

n m • 9m n

）=4，
当且仅当

n

m

=

9m

n

即m=1且n=3时取等号，
故

1

m

+

9

n

的最小值为：4
故答案为：4

点评：本题考查等比数列的性质，设基本不等式求最值，属基础题．