Question

17．如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC为等边三角形，O为△ABC的中心，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=BC=$\sqrt{3}$，D为AP上一点，且AD=2DP．
（I）求证：DO∥平面PBC；
（II）求证：AC⊥平面OBD；
（III）设M为PC的中点，求二面角M-BD-O的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AO交BC于E，连接PE，由重心的性质可得DO∥PE，再由线面平行的判定可得DO∥平面PBC；
（Ⅱ）由PB=PC，且E为BC中点，可得PE⊥BC，再由面面垂直的性质可得PE⊥平面ABC，结合（Ⅰ）可得DO⊥平面PBC，即DO⊥AC，又AC⊥BO，则由线面垂直的判定可得AC⊥平面DOB；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP两两互相垂直，且E为BC的中点，分别以EA、EB、EP所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDM与平面DBO的法向量．由两法向量所成角的余弦值可得二面角M-BD-O的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AO交BC于E，连接PE，
∵O为三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
又∵AD=2DP，∴DO∥PE，
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC，
∴DO∥平面PBC；
（Ⅱ）证明：∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，
∴PE⊥平面ABC，
由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面PBC，
∴DO⊥AC，
连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA、EB、EP两两互相垂直，且E为BC的中点，
∴分别以EA、EB、EP所在直线为z、y、z轴建立空间直角坐标系，
则有：A（$\frac{3}{2}$，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（0，0，$\frac{3}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，0，1），C（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），M（0，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$），
∴$\overrightarrow{DB}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，-1）$．
设平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}y+\frac{3}{4}z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$．
由（Ⅱ）知，AC⊥平面DBO，
∴$\overrightarrow{AC}=（-\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$为平面DBO的法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3+1+3}×\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴sin＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．