Question

4．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c}^{2}{a}^{2}-（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2}）^{2}]}$．现有周长为4+$\sqrt{10}$的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：
（$\sqrt{2}$+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由题意和正弦定理求出a：b：c，结合条件求出a、b、c的值，代入公式求出△ABC的面积．

解答 解：因为sinA：sinB：sinC=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：（$\sqrt{2}$+1），
所以由正弦定理得，a：b：c=（$\sqrt{2}$-1）：$\sqrt{5}$：（$\sqrt{2}$+1），
又△ABC的周长为4+$\sqrt{10}$，
则a=$\frac{（\sqrt{2}-1）（4+\sqrt{10}）}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}$、b=$\frac{\sqrt{5}（4+\sqrt{10}）}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}$、c=$\frac{（\sqrt{2}+1）（4+\sqrt{10}）}{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}$，
所以△ABC的面积S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c}^{2}{a}^{2}-（\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}[\frac{（4+\sqrt{10}）^{4}}{（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{4}}-\frac{（4+\sqrt{10}）^{4}}{4（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{4}}]}$=$\frac{\sqrt{3}（4+\sqrt{10}）^{2}}{4（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查正弦定理，以及新定义在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．