Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出；
（2）利用△CEF的面积是△BEF面积的2倍，可得CF=2FB．再根据EF∥AC，可得

AE

EB

=

CF

FB

=

2

1

．即可得出．
（3）由抛物线的方程y=

1

2

x2+

3

2

x-2．令x=0，C（0，-2）．可得直线AC的方程为：

x

-4

+

y

-2

=1．
设直线PQ的方程为：x=t（-4≤t≤0），由于PQ∥y轴．可得|PQ|=y_Q-y_P．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-4，0）和B（1，0），
∴

-4+1=- b 1 2 -4×1= c 1 2

，解得b=

3

2

，c=-2．
∴抛物线的方程为y=

1

2

x2+

3

2

x-2．
（2）如图所示，
∵△CEF的面积是△BEF面积的2倍，
∴CF=2FB，
∵EF∥AC，
∴

AE

EB

=

CF

FB

=

2

1

．
∵A（-4，0），B（1，0）．
∴x_E-（-4）=2（1-x_E），解得x_E=-

2

3

．
∴E(-

2

3

，0)．
（3）由抛物线的方程为y=

1

2

x2+

3

2

x-2．
令x=0，得y=-2．即（0，-2）．
∴直线AC的方程为：

x

-4

+

y

-2

=1，化为x+2y+4=0．
设直线PQ的方程为：x=t（-4≤t≤0），
∵PQ∥y轴．
∴|PQ|=y_Q-y_P
=(-

1

2

t-2)-(

1

2

t2+

3

2

t-2)
=-

1

2

t2-2t
=-

1

2

(t+2)2+2，
当t=-2时，|PQ|取得最大值2．
此时y_P=

1

2

×(-2)2+

3

2

×(-2)-2=-3，∴P（-2，-3）．

点评：本题考查了考查了一元二次方程根与系数的关系、平行线分线段成比例定理、三角形的面积计算公式、二次函数的单调性、直线的方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．