Question

（理科）南昌某中学为了重视国学的基础教育，开设了A，B，C，D，E共5门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生：
（1）求恰有2门选修课没有被这4名学生选择的概率；
（2）设这4名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有种选择，总共有5⁴，恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率，则有C₅²C₄²A₃³，从而求解；
（2）某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4，分别算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答： 解：（1）根据每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有种选择，总共有5⁴，恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率，则有C₅²C₄²A₃³，
∴恰有2门选修课这4名学生都没选择的概率：P₂=

C 2 5 C 2 4 A 3 3

54

=

72

125

（2）设A选修课被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=

44

54

=

256

625

，P（ξ=1）=

C 1 4 43

54

=

256

625

，P（ξ=2）=

C 2 4 42

54

=

96

625

，
P（ξ=3）=

C 3 4 41

54

=

16

625

，P（ξ=4）=

C 4 4

54

=

1

625

分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	256 625	256 625	96 625	16 625	1 625

∴Eξ=0×

256

625

+1×

256

625

+2×

96

625

+3×

16

625

+4×

1

625

=

4

5

．

点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．