题目内容
在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alna-a，再求导，求最值即可．
解答：
解：设出曲线上的一个切点为（x，y），
由y=alnx，得y′=
，
∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，
∴y′=
=1，
∴x=a，
∴切点为（a，alna），
代入y=x+b，可得b=alna-a，
∴b′=lna=0，可得a=1，
∴函数b=alna-a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴a=1时，b取得最小值-1．
故答案为：-1．
由y=alnx，得y′=
| a |
| x |
∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，
∴y′=
| a |
| x |
∴x=a，
∴切点为（a，alna），
代入y=x+b，可得b=alna-a，
∴b′=lna=0，可得a=1，
∴函数b=alna-a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴a=1时，b取得最小值-1．
故答案为：-1．
点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．
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