题目内容
如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，D，分别在x轴，y轴正半轴上移动，则| OB |
| OC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：设∠OAD=θ，0＜θ＜
．可得xB=2cosθ+2sinθ，yB=2cosθ，xC=2sinθ，yC=2sinθ+2cosθ．再利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．
| π |
| 2 |
解答：
解：设∠OAD=θ，0＜θ＜
．
则xB=2cosθ+2sinθ，yB=2cosθ，xC=2sinθ，yC=2sinθ+2cosθ．
∴B（2cosθ+2sinθ，2cosθ），C（2sinθ，2sinθ+2cosθ），
∴
•
=（2cosθ+2sinθ，2cosθ）•（2sinθ，2sinθ+2cosθ）
=（2cosθ+2sinθ）×2sinθ+2cosθ（2sinθ+2cosθ）
=4sinθcosθ+4sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ
=4sin2θ+4．
∵0＜θ＜
，
∴0＜2θ＜π，
∴sin2θ≤1．
∴4sin2θ+4≤8．
∴
•
的最大值为8．
故答案为：8．
| π |
| 2 |
则xB=2cosθ+2sinθ，yB=2cosθ，xC=2sinθ，yC=2sinθ+2cosθ．
∴B（2cosθ+2sinθ，2cosθ），C（2sinθ，2sinθ+2cosθ），
∴
| OB |
| OC |
=（2cosθ+2sinθ）×2sinθ+2cosθ（2sinθ+2cosθ）
=4sinθcosθ+4sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ
=4sin2θ+4．
∵0＜θ＜
| π |
| 2 |
∴0＜2θ＜π，
∴sin2θ≤1．
∴4sin2θ+4≤8．
∴
| OB |
| OC |
故答案为：8．
点评：本题综合考查了数量积运算、同角三角函数基本关系式、倍角公式、正弦函数的单调性有界性，考查了计算能力，属于中档题．
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