Question

已知双曲线

x2

a2

-y²=1（a＞1）的一个焦点为F，点P在双曲线上，且|

OP

|=|

OF

|（O为坐标原点），则△OPF的面积S=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的参数方程设出P的坐标，根据|

OP

|=|

OF

|，求出P的纵坐标，然后求出三角形的面积即可．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-y²=1（a＞1）的一个焦点为F（

a2+1

，0），
设P（asecθ，tanθ）θ∈（0，

π

2

），则
因为|

OP

|=|

OF

|，
所以，a²sec²θ+tan²θ=（

a2+1

）²，解得tanθ=

1 1+a2

，
所以△OPF的面积S=

1

2

•

a2+1

•

1 1+a2

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题是中档题，考查双曲线与向量的关系，求出P的纵坐标是解题的关键，考查计算能力．