Question

若不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是多少？

Answer 1

考点：绝对值不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：分：①当a=

1

2

时、②当a＞

1

2

时、③当a＜

1

2

时三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x-1|+|x-a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．

解答： 解：①当a=

1

2

时，不等式即|x-

1

2

|≥

2

3

，显然不能任意实数x均成立．
②当a＞

1

2

时，|2x-1|+|x-a|=

3x-a-1 ， x≥a x+a-1 ， 1 2 ＜x＜a -3x+a+1 ，x≤ 1 2

，
此时，根据函数y=|2x-1|+|x-a|的单调性可得y的最小值为-3×

1

2

+a+1．
∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，
∴-3×

1

2

+a+1≥2，解得 a≥

5

2

．
③当a＜

1

2

时，|2x-1|+|x-a|=

3x-a-1 ， x≥ 1 2 -x-a+1 ，a＜x＜ 1 2 -3x+a+1 ，x≤ a

，
此时，根据函数y=|2x-1|+|x-a|的单调性可得y的最小值为-

1

2

-a+1．
∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，
∴-

1

2

-a+1≥2，解得 a≤-

3

2

．
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，-

3

2

]∪[

5

2

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．