Question

对于任意实数x，不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立时，若实数a的最大值为3，则实数m的值为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得|2x+m|+|x-1|的最小值为3，设f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+

m

2

|+|x-1|，分①当

m

2

≥-1时，
②当

m

2

＜-1时两种情况，分别求得f（x）的最小值，再根据函数的最小值为3求得实数m的范围．

解答： 解：不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立时，
由于实数a的最大值为3，
则|2x+m|+|x-1|的最小值为3．
设f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+

m

2

|+|x-1|，
①当

m

2

≥-1时，
则有f（x）=

3x+m-1 ，x＞1 x+m+m ，- m 2 ≤x≤1 -3x-m+1 ，x＜- m 2

，
其图象如图所示，当x=-

m

2

时，
取得最小值f（-

m

2

）=

m

2

+1；
②当

m

2

＜-1时，
则有f（x）=

3x+m-1 ，x＞- m 2 -x-m-1 ，1≤x≤- m 2 -3x-m+1 ，x＜1

，
当x=-

m

2

时，取得最小值f（-

m

2

）=-

m

2

-1；
由题意，若实数a的最大值为3，则

m

2

+1=3或-

m

2

-1=3，
∴m=4，或m=-8．
故答案为：4或-8．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．