Question

设函数g（x）=x+

1

x+1

，f（x）=

g(x)+x(x＜g(x)) g(x)-x(x≥g(x))

，则f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：分别求出分段函数的各段的自变量的范围，运用基本不等式即可求出最值，再求并集即可．

解答： 解：当x＜g（x）即x＜x+

1

x+1

，即有x＞-1，f（x）=g（x）+x=2x+

1

x+1

=2（x+1）+

1

x+1

-2≥2

2(x+1)• 1 x+1

-2=2

2

-2；
当x≥g（x）即x≥x+

1

x+1

，即有x＜-1，f（x）=g（x）-x=

1

x+1

＜0，
则f（x）的值域为（-∞，0）∪[2

2

-2，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪[2

2

-2，+∞）．

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的值域的求法，注意分别求各段的范围，再求并集，考查运算能力，属于中档题．