Question

斜率为

2

2

的直线l与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于不同的两点A、B．若点A、B在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）P是椭圆上的动点，若△PAB面积最大值是4

2

，求该椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）画出图形，结合图形，得出直线与椭圆两交点坐标，根据两点间的斜率公式，求出离心率e；
（2）由（1）知，设出椭圆的标准方程

x2

2c2

+

y2

c2

=1，求出|AB|的值，利用三角形的面积求出高h；再求点P到直线的最大距离d，由此求出c即可．

解答： 解：（1）由题意知：直线与椭圆两交点的横坐标为-c，c，纵坐标分别为-

b2

a

，

b2

a

，
∴由

b2 a -(- b2 a )

c-(-c)

=

2

2

转化为：2b²=2（a²-c²）=

2

ac
即2e²+

2

e-2=0，
解得e=

2

2

，e=-

2

（负根舍去），
∴椭圆的离心率为e=

2

2

；
（2）∵P是椭圆上的动点，当△PAB的面积最大值是4

2

时，
有

1

2

|AB|h=4

2

，
∵e=

2

2

，∴b=c，
∴a=

2

c；
∴设椭圆的方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
则|AB|=

6

c，
∴三角形PAB的高为h=

8

3 c

；
又直线为y=

2

2

x，
即

2

x-2y=0；
则点P（

2

ccosθ，csinθ）到直线的距离表示为
d=

|2ccosθ-2csinθ|

2+4

=

2 2 csin(θ- π 4 )

6

≤

2 2 c

6

，
令

2 2 c

6

=

8

3 c

，
解得c=2，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题考查了椭圆的几何性质及直线的斜率公式和离心率公式的应用问题，也考查了点到直线的距离公式的应用问题，是难题．