Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A，B，且与双曲线

x2

2

-y²=1有相同的焦点，圆T：x²+y²=4上有一动点P，P在x轴上方，M（1，0）为x轴上一点．直线PA交椭圆C于D点，联结DM，PB．
（1）若

AD

•

DM

=0，求△ADM的面积；
（2）若直线PB，DM的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,作图题,直线与圆,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：先由题意求出椭圆的方程，作出图象辅助，
（1）设点D（2cosa，sina），则

AD

=（2cosa+2，sina），

DM

=（1-2cosa，-sina），由

AD

•

DM

=0可求出点D的坐标，从而求△ADM的面积；
（2）由（1），写出直线DM，AD的斜率，由AD⊥PB求出直线PB的斜率，即求出k₁=-

1

sina 2cosa+2

=-

2cosa+2

sina

，k₂=

sina

2cosa-1

，从而表达出λ=2-

1

1-cosa

，根据cosa的取值范围求λ的取值范围．

解答： 解：作图如右图，
在双曲线

x2

2

-y²=1中，c²=2+1=3，
故b²=4-3=1，故椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1，
（1）设点D（2cosa，sina），则

AD

=（2cosa+2，sina），

DM

=（1-2cosa，-sina），
由

AD

•

DM

=0可得（2cosa+2）（1-2cosa）-sin²a=0，
即（3cosa-1）（cosa+1）=0，
故由图可知，点D（

2

3

，

2 2

3

）；
则S_△ADM=

1

2

×3×

2 2

3

=

2

；
（2）由（1）知，k₂=

sina

2cosa-1

，
直线AD的方程为

y-0

sina-0

=

x+2

2cosa+2

，
即y=

sina

2cosa+2

(x+2)，
又∵AD⊥PB，
∴k₁=-

1

sina 2cosa+2

=-

2cosa+2

sina

，
则由k₁=λk₂可得，
λ=

k1

k2

=-

2cosa+2

sina

•

2cosa-1

sina

=-

2(cosa+1)(2cosa-1)

(1+cosa)(1-cosa)

=2

1-2cosa

1-cosa

=4-2

1

1-cosa

，
∵

-1＜cosa＜1 2cosa-1≠0

，
∴-1＜cosa＜

1

2

或

1

2

＜cosa＜1，
∴

1

2

＜1-cosa＜2或0＜1-cosa＜

1

2

，
∴1＜2

1

1-cosa

＜4或

1

1-cosa

＞4，
∴0＜4-2

1

1-cosa

＜3或4-2

1

1-cosa

＜0．
即λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．

点评：本题考查了圆锥曲线中的位置问题及应用，同时考查了直线与圆，属于难题．