Question

已知α为第三象限角，f（α）=

1+sinα 1-sinα

-

1-sinα 1+sinα

，
（Ⅰ）化简f（α）；
（Ⅱ）设g（α）=f（-α）+

2

tanα

，求函数g（α）的最小值，并求取最小值时的α的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）f（α）被开方数变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，再利用二次函数公式变形，根据α为第三象限角，得到cosα小于0，化简即可得到结果；
（Ⅱ）将f（-α）代入g（α）=f（-α）+

2

tanα

化简，利用完全平方公式大于等于0求出最小值，以及此时α的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（α）=

(1+sinα)2 (1+sinα)(1-sinα)

-

(1-sinα)2 (1+sinα)(1-sinα)

=

1+sinα

|cosα|

-

1-sinα

|cosα|

=

2sinα

|cosα|

，
又α为第三象限角，
则f（α）=-2tanα；
（Ⅱ）g（α）=f（-α）+

2

tanα

=-2tan（-α）+

2

tanα

=2（tanα+

1

tanα

）=2（

tanα

-

1

tanα

）²+4，
当

tanα

=

1

tanα

，即tanα=1，
即α=2kπ+

5

4

π（k∈Z）时，取等号，
即g（α）的最小值为4．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．