Question

已知直线y=

x

2

与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由直线y=

x

2

与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于两点，推导出4b²＞a²，由此能够推导出离心率的取值范围．

解答： 解：把直线y=

x

2

代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
并整理，得x2=

4a2b2

4b2-a2

，
∵直线y=

x

2

与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于两点，
∴4b²＞a²，即b²＞

a2

4

，
∴c²=a²+b²＞a 2 +

a2

4

=

5a2

4

，
∴c＞

5

2

a，
∴e=

c

a

＞

5

2

．
故答案为：（

5

2

，+∞）．

点评：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意一元二次方程的解的个数的应用．